第 7 集 · B1 · 7 分钟
数学思维 · 第7集 · 集合
萨瓦捷耶夫用慢而清楚的俄语讲逻辑、函数、证明和集合，适合跟听长句。 开头：坎托尔之前的一切
中俄字幕
всё что было до кантера
坎托尔之前的一切
и всё что было после кантера.
以及坎托尔之后的一切。
это просто реально разные миры
这简直是两个完全不同的世界
сам кантор говорил что он
就连康托尔本人也曾说过，他
не понимает ничего в своем собственном
完全不理解自己所写的
доказательстве
证明
это вообще так сказать иллюстрация к тому
这实际上恰恰说明了一点：
насколько математика она как бы вот это
数学，或者说我们的意识，
сознание наше она расширяет до
能立刻将我们拓展至无限
бесконечности сразу ну собственно речь
当然，这正是我们讨论的主题
пойдет о бесконечностях
将讨论无穷大
но прежде чем мы о них будем говорить
但在我们谈论它们之前
я приведу два странных утверждения.
我先提出两个奇怪的命题。
Первое такое.
第一个是这样的。
критянин какой нибудь там доксиадис заявил
某个克里特人，叫多克西阿迪斯的，声称
все критяне всегда лгут.
所有克里特人总是说谎。
Может ли это утверждение быть верным?
这个命题可能为真吗？
но если бы оно было верным
但如果它为真
значит любой христианин в любой момент что
那就意味着任何一位克里特人在任何时候
бы он ни говорил он бы врал.
无论他说什么，他都在说谎。
но тем самым этот конкретный дексиадис в
但这样一来，这位特定的德克西阿迪斯
этот момент должен был соврать то есть
在此刻就必须说谎，也就是说
если бы он сделал верное утверждение то
如果他做出了一个真实的陈述，那么
тогда он это же утверждение было бы у него
该陈述对他而言就变成了假的，明白吗？也就是说，我们
неверным понятно да то есть как бы мы
实际上直接陷入了矛盾：他所做的陈述
приходим просто к противоречию с тем что
与他做出真实陈述这一事实相矛盾，因此
он сделал верное утверждение поэтому
克里特人德克西阿迪斯所作的陈述
утверждение сделанное критянином
即‘所有克里特人全都在说谎’
дексиадисом что все критяне все лгут
自动成为假命题
является автоматически неверным
自动成为假命题
вот пока вы об этом думаете я приведу еще
现在，趁你们思考这个问题时，我再举一个例子
одно утверждение
论断
такое бородабрей
理发师悖论
города санкт петербург
圣彼得堡市
бреет всех, кто не умеет бриться сам.
给所有不会自己刮胡子的人刮胡子。
Вопрос: бреет ли он себя?
问题：他给自己刮胡子吗？
Если он не умеет бриться сам,
如果他自己不会刮胡子，
то он должен по идее себя брить.
那么按理说，他应该给自己刮胡子。
Но тогда получается как это он не умеет
但这样一来，他既不会自己刮胡子，
бриться сам и он себя бреет, уже
却又给自己刮胡子呢？
оксюморон, да, это не может быть.
矛盾修辞法，是的，这不可能。
Он не может себя брить, не умея бриться
他无法给自己刮胡子，因为他不会刮胡子。
сам, да, хорошо.
自己刮，是的，很好。
А если он себя не бреет,
如果他不给自己刮胡子，
тогда что? Что тогда верно?
那么会怎样？那时什么才是正确的？
ну думайте а мы
嗯，你们想一想，而我们……
значит делаем следующее
那么我们接下来这样做：
мы рассматриваем
我们来考察
множество натуральных чисел.
自然数集合。
ну давайте его начинать с единицы, хотя,
嗯，我们从1开始吧，虽然……
конечно, можно и с нуля.
当然，也可以从零开始。
И сейчас мы обнаружим,
现在我们将发现，
что в множестве целых чисел ровно столько
整数集中的数字个数，
же чисел, сколько натуральных.
与自然数的个数相同。
Как это, спросите вы, что за бред?
你可能会问：这到底是什么胡话？
когда в целых числах есть все
毕竟整数中包含了所有
отрицательные минус
负数：负三、负二、负一、零，然后
три минус два минус один ноль а дальше
接着是全部自然数——也就是说，整数
пошли все натуральные да то есть целые
显然就是自然数的扩展。
числа явным образом являются расширением
数显然是自然数的扩展。
натуральных а я утверждаю что у них
自然数，而我声称它们
одинаковое число элементов.
元素个数相同。
так вот дорогие друзья есть такая игра
好了，亲爱的朋友们，有这样一种游戏：
игра заключается в том
这个游戏的关键在于：
что если между двумя множествами какими то
如果在两个集合之间以某种方式
установлена взаимно однозначное
建立了双射关系，即一一对应，
соответствие, то есть биекция, если.
也就是说，如果存在一个双射。
существует биекция из множества a в
存在从集合A到
множество b.
集合B的双射。
Биекция вот так иногда обозначают, потому
双射有时用这种方式表示，因为
что это означает, что phi в минус первой
这意味着φ的负一次方
существует отсюда сюда.
它存在，从这里到那里。
Вот. видите какой палиндромчик да есть
看，这里有个小回文。
существует физ а в b которая из биекции и
存在一个从A到B的映射φ，且该映射是双射。
фи в минус первой является обратной к ней
φ的负一次方就是它的逆映射。
то мы говорим что в них одинаковое число
那么我们就说它们元素个数相同。
элементов но это довольно естественно если
但这其实很自然，如果
вы завели школьников в класс посадили их
你把一群学生带进教室，让他们坐下，
на стулья и выяснилось что некоторые
结果发现有些椅子空着，而所有学生
стулья свободны а школьники все сидят на
都已坐在椅子上了。
стульях по одному то школьников как бы
每个椅子上坐一个学生，那么学生就
меньше да чем стульев если вы завели
比椅子少，如果你把学生带进教室并安排他们
школьников в класс и рассадили их по
坐在椅子上。那么，
стульям Ну а как бы некоторые остались
有些学生还站着，椅子不够用，我们就说
стоять, и стульев не хватило, то мы
学生人数比椅子多。如果正好全部
говорим, что школьников больше, чем
学生都坐到了所有椅子上，所有椅子都被占用了，没有学生站着，我们就说
стульев. А если вот ровно всё, в точности
所有东西都一一对应，也就是说，
все школьники сели на все стулья, все
每个学生都坐在一把椅子上，每把椅子上都有一个学生，
стулья заняты, школьников нет, мы говорим,
学生人数和椅子数量相等。
что школьников столько же, сколько
学生人数和椅子数量一样多。
стульев. И можно как бы это просто
椅子。而且可以简单地
объяснить так, что мы взаимно однозначное
这样解释：我们建立了双射关系。
соответствие установили.
对应关系。
Вообще количество это и есть формализация
一般来说，数量正是这种概念的形式化表达：
того, что как бы между множеством
即在某个自然数初始序列集合与给定集合之间
начального ряда натуральных чисел и данным
自然数列和该集合之间
есть взаимно однозначное соответствие.
存在一一对应关系。
Мы пересчитали элементы какого- то
我们通过某个自然数的初始段
множества с помощью какого- то начального
集合的元素个数，
отрезка натуральных.
自然数段来完成计数。
Ну и вот математик перешагивает через
那么，数学家就跨过了
бесконечность в этом месте и говорит:
此处的无穷，并说道：
бесконечные множества тоже можно
无限集合之间
попробовать друг с другом поставить во
尝试建立
взаимно однозначное соответствие.
一一对应关系。
Отель Гильберта.
希尔伯特旅馆
Бесконечное количество математиков
无限多位数学家
сели в... приехали на конференцию.
……来参加会议。
Бесконечное количество математиков.
无限多位数学家。
Кстати, супер утверждение, которое вчера
顺便提一句，昨天的一个超级论断
пошло в интернете, имеет глубоко
在网上流传开来，具有深刻的
математическую структуру.
数学结构。
Конференция, посвященная коронавирусу,
一场关于冠状病毒的会议，
отменилась из- за коронавируса.
因冠状病毒而取消了。
я когда это увидел я покатился со смеху
我看到时笑得前仰后合。
это конечно типичный случай так сказать
这当然算是典型的例子了。
вот такой вот
就是这样的。
просто математика ворвалась в нашу жизнь
数学就这样闯入了我们的生活，
через это утверждение
通过这个命题。
короче, посидели бесконечное количество
总之，我们坐了无限长的时间。
ученых по номерам бесконечного в ту
按无限延伸方向的编号科学家
сторону отеля Гильберта.
希尔伯特酒店的一侧。
И вдруг приехал еще один ученый, сам
突然又来了一位科学家，正是
Гильберт, и говорит: эй, братва,
希尔伯特本人，他说：“嘿，伙计们，
потеснитесь.
让一让。”
Куда мы потеснимся?
我们往哪儿让？
Так ты давай отсюда, вот сюда.
那你从这儿挪到这儿来。
И дал ему пинка, Гильберт такой был
还踢了他一脚，希尔伯特可是个
жесткий дядька.
硬朗的家伙。
Дал пинка, тот пришел к этому и говорит:
踢了一脚后，那人来到这位科学家面前说：
Ты вот тут все по крутости, ну Гильберт
你在这儿耍酷呢，哎，吉尔伯特
самый крутой, остальные по крутости, ну ты
你最酷，其他人按酷的程度排，嗯，你
менее крутой, чем я, иди отсюда.
没我酷，快走开。
Тот пошел, выгнал этого.
那个走了，把这家伙赶跑了。
Ну и короче, как в сказке там про то, как
总之，就像童话里讲的那样，
кто- то поддал собачку, собачка гуся, гусь
有人踢了小狗，小狗踢了鹅，鹅
никого не поддал, ему было жалко кого- то
谁都没踢，它可怜某个家伙，
поддавать. Но вот здесь до бесконечности
不忍心踢。但这里却没完没了地
они друг другу поддают, ну и вот
互相踢来踢去，所以呢
пожалуйста, получилось, что мы для
请看，结果我们成了……
Гильберта место нашли.
找到了希尔伯特的位置。
То есть мы перенесли их всех строго на
也就是说，我们将它们全部严格向右移动了一位，
единицу вправо, и от этого ничего не
而这样什么都没有改变，
изменилось, да, то есть все занимают все
是的，也就是说所有位置都被占满了。
клетки. И Гильберту место опростали тут
而希尔伯特的位置就在这里腾出来了。
местечком. ну и вот собственно по этой же
那么，接下来我们就按照同样的方法，
схеме мы сейчас установим соответствие
建立 y 和 z 之间的对应关系。
между y и z.
具体来说，我需要用编号 n 来列举出所有这些数。
а именно мне нужно перечислить вот эти вот
也就是我需要列举出所有这些数，
все числа с помощью номеров n.
用编号 n 来表示。
Ну я что делаю?
那么我在做什么？
Это будет первый, это второй, это третий,
这是第一个，这是第二个，这是第三个，
это четвертый, это пятый.
这是第四个，这是第五个。
Ну там можно даже формулу написать, что
嗯，甚至可以写出一个公式，即
phi от n равно,
φ(n) 等于，
значит, 2n. Давайте
即 2n。我们来
посмотрим, какие у меня. . .
看看我有哪些……
значит, первый элемент это 0, да?
第一个元素是 0，对吧？
Первый элемент это 0.
第一个元素是 0。
а мне нужно делить наоборот на два да ну n
而我需要反过来除以二，对吧？即 n。
минус один тогда наоборот n минус один вот
负一，那么反过来就是 n 减一，就是这样
скажем n минус один пополам да со знаком
比如说，n 减一的一半，带符号
плюс мы берем n минус один пополам
加，我们取 n 减一的一半
вот единица переходит в ноль да
看，1 变成了 0，对吧
тройка переходит.
3 变成了……
来源：Alexey Savvateev · CC BY 3.0