第 4 集 · B1 · 7 分钟
数学思维 · 第4集 · 函数（续）
萨瓦捷耶夫用慢而清楚的俄语讲逻辑、函数、证明和集合，适合跟听长句。 开头：这是一个由这九个元素组成的集合
中俄字幕
Вот множество, состоящее из этих девяти
这是一个由这九个元素组成的集合
точек, оно носит название декартова
它被称为笛卡尔积
произведения двух множеств.
两个集合的笛卡尔积。
ножка стоящая из
由数字2、5、6组成的集合
чисел 2 5 6 и множество состоящего из
以及由数字1、2、4组成的集合。
чисел один, два, четыре.
以及由数字1、2、4组成的集合。
То есть декартова произведения.
也就是说，这是笛卡尔积。
это множество, в котором пары живут, да?
即一个包含有序对的集合，对吗？
Пары, то есть 2, 1.
有序对，例如（2, 1）。
потом два два да
然后是（2, 2），对吧？
так далее в общем вы все эти точки
以此类推，总之，所有这些点
перечисляете вот так последняя будет шесть
就这样逐一列出，最后一个数是六
четыре. Вот, ну их девять штук, да?
四是最后一个。好了，一共有九个，对吧？
Их девять штук, видите сколько их?
一共有九个，您看有多少个？
Их столько, сколько
数量等于
элементов здесь умножить на количество
此处元素的数量乘以
элементов здесь.
此处元素的数量。
Ну потому что видно по картинке, это
因为从图中可以清楚看出，
хорошо видно.
非常清晰明了。
Вот эта конструкция
这个结构
нам позволяет объяснить, что математики
使我们能够解释，数学家
поднимают под функцией, понимают.
在函数名下所理解的内容。
Но прежде всего
但首先
отношениям давайте напишем отношениям.
让我们写出关系式。
между множествами.
集合之间。
A и B называется
A 和 B 之间的关系称为
вообще любое подмножество J декартова
笛卡尔积的任意子集 J。
произведения.
积。
ну то есть когда мы берем какие то значит
也就是说，当我们选取某些……
эти самые какие то
就是这些某些……
Ну несколько из этих пар берем.
那么，我们从中选取几对。
Вот, например, я взял вот эти четыре пары,
例如，我选了这四对，
да? G, допустим, состоит из четырех пар.
对吧？假设G由四对组成。
Чего там? 2, 2, 2, 5, 2, 6
里面有哪些元素？2、2；2、5；2、6
и 6, 4. 2, 2, 2, 5,
和6、4。2、2；2、5；
2, 6, 6, 4. Вот
2、6；6、4。看，
такой типичный пример отношения между
这是集合A与集合B之间关系的一个典型例子。
множествами A и B.
这是集合A与集合B之间关系的一个典型例子。
То есть мы говорим, что
也就是说，我们说
двойка находится с вот этой двойкой, вот
数字2与这个2相关联，
эта двойка с этой двойкой в отношении, и
这个2与这个2存在关系，且
эта пятерка с этой двойкой в отношении, и
这个5与这个2存在关系，且
эта шестерка с этой двойкой в отношении.
这个6与这个2存在关系。
Но также еще эта шестерка находится в
但此外，这个6还处于
отношении с этой четверкой.
与这个4的关系中。
Вот, а функцией,
看，而所谓
функцией. называется
函数，指的是
такое отношение.
这样一种关系。
для которого при любом а.
对于任意a，都存在唯一的
существует единственное вот ещё очень
还有一个非常重要的条件。
важный значок
重要图标
это восклицательный знак к сожалению это
这是感叹号，可惜的是，它
многозначная штука если я пишу пять и
含义很丰富。如果我写数字5，再加一个
восклицательный знак это пять факториал то
感叹号，就表示5的阶乘，即
есть один умножить на два умножить на три
1乘以2乘以3
умножить на четыре умножить на пять
乘以4乘以5
но в данном контексте это существует
但在此语境中，它表示“存在”
единственное b из b.
即存在唯一的b，属于集合B。
такое что а в паре с b находится в этом
使得a与b的有序对属于该
отношении то есть принадлежит этому
关系，即属于该关系集合。
подмножеству.
子集。
и такое b называется f a ну вот так
这样的b称为f(a)。
обозначается то есть функция исходно
用符号表示，即函数最初定义为：
функция это просто некоторое отношение но
函数只是一种特殊的关系，但
не такое как я нарисовал вот такое нельзя
不像我画的这种——这种是不允许的。
потому что Шестёрка находится в отношении
因为数字6与集合B中的两个元素都存在关系。
сразу с двумя элементами множества B.
集合B中的两个元素。
Шестёрка, элемент множества A, находится с
6是集合A的一个元素，它与
двумя. А вот если бы, например, я вот этот
两个元素相关联。但如果例如我把这个
вот удалил из J, вот
从J中删除，那么……
отсюда удалил этот элемент.
从此处删除此元素。
Я тут неправильно их перечислил: 5, 2; 6,
我这里列错了：5、2；6，
2 и 6, 4. Вот если я удаляю вот этот вот
2和6、4。如果我删除这个
элемент, то у меня остаётся отношение, у
元素，那么剩下的就是一种关系，
меня остаётся отношение, а именно двойка
剩下的就是一种关系，即数字2
находится в отношении с единственным
仅与此处的唯一一个元素相关。
элементом здесь, а именно с двойкой.
即此处的数字2。
Пятерка тоже находится в отношении с
数字5也仅与此处的唯一一个元素相关。
единственным здесь элементом.
即此处的唯一一个元素。
а именно с той же самой двойкой, это
即同样是数字2。
пожалуйста, да, то есть в ту сторону
请，是的，就是那个方向
можно. Они могут с одним и тем же
可以。它们可以与同一个元素相关联
находиться в отношении, но двойка должна
处于某种关系中，但数字2必须
ровно с одним, пятёрка ровно с одним, и
恰好与一个元素相关联，数字5也恰好与一个元素相关联，且
шестёрка находится ровно с одним в
数字6恰好与一个元素处于关系中。那么，这究竟
отношении. И мы говорим, что же тогда это
是什么呢？在我移除它之后。
будет, после того как я это убрал.
在我移除它之后。
Это функция, которая на элементе 2
这是一个函数，在元素2上
принимает значение 2, на элементе 5
取值为2，在元素5上
принимает значение снова 2, и на элементе
再次取值为2，在元素上
6 принимает значение 4.
6 取值为 4。
Вот, ну и вот собственно
喏，就是这个，实际上就是这个。
математически функции это и есть отношение
从数学上讲，函数本质上就是一种关系。
с таким специальным дополнительным
带有这种特殊的附加条件。
условием. Вот.
喏。
Ну и можно так сказать дальше нарисовать
接着我们还可以进一步画出……
график, да, вот график функции, да, что
函数的图像，对，这就是函数的图像，对吧？
такое график функции.
那么，什么是函数的图像呢？
Ну у нас всего три элемента в этом
嗯，这个函数定义域中只有三个元素，
множестве, на котором функция определена,
即函数的定义域。
поэтому получается такая вот как бы
因此就形成了这样一条所谓的
условная линия, но на самом деле график
虚拟直线，但实际上这个图像
просто состоит из этих трёх точек.
仅由这三个点构成。
То есть иными словами график функции это
换句话说，函数的图像是
ничто иное как сама функция, вот если
就是函数本身；也就是说，如果
математически говорить, график функции
从数学角度来说，函数的图像
совпадает с понятием функции.
与函数的概念完全一致。
Ну конечно в житейском смысле.
当然，在日常生活中，
график, да, это
图像确实是
я нарисовал тут вот x, тут y, там какая-
我在这里画了x轴，这里画了y轴，那里是某个
то кривулька.
那个弯曲的线条。
Вот. И ну как бы это с нашим вот этим с
就是它。那么，这与我们刚才提到的
этим определением это полностью
这个定义完全
состыкуется, да, то есть мы говорим, что у
吻合，是吧？也就是说，我们说函数是
нас функция— это отношение на множестве
集合上的一种关系，该关系由有序对构成，
пар первая координата и вторая координата,
其中第一个坐标和第二个坐标，
при которой каждой первой координате
每个第一个坐标
соответствует одна и только одна вторая
只对应唯一一个第二个坐标。
координата. То есть это как бы согласуется
也就是说，这与这里所写的内容是一致的，
с тем, что здесь написано, ну и её график—
而它的图像——
это и есть подмножество внутри вот этого
这就是其中的一个子集
вот декартова произведения, которым
这就是笛卡尔积
является весь R квадрат, подмножество,
即整个R²，一个子集
которое, значит, это соотношение и задаёт
因此这个关系就由此定义
вот это вот отношение функциональное и
这个函数关系
задаёт. Вот, ну что еще
并由此定义。那么，还有什么
стоит добавить?
需要补充的吗？
Добавить надо то, что функции бывают
需要补充的是，函数有多种类型
нескольких видов,
例如单射
а инъекция. это означает что
单射意味着
для любых разных a
对于任意不同的a
и a с волной.
和带波浪线的a
f от a не равно f от a с волной.
f(a)不等于f(带波浪线的a)
Иными словами,
换句话说，
отношение f, которое задаёт нашу функцию,
定义我们函数的关系f
оно не может разным элементам вот этого
不能将这个
вот стартового множества ставить один и
即起始集合中的不同元素
тот же, как вот здесь элемент.
映射为同一个元素，如图中所示。
Ну и вот здесь тоже это не выполняется,
而此处同样不满足该条件，
потому что вот эта точка и вот эта
因为这个点和这个点
переходят. им соответственно один и тот же
映射。它们各自对应相同的
y, да, мы говорим при функции это точка
y，对，我们说函数中的这一点
переходит вот в это значение, эта точка
映射到这个值，该点
тоже переходит в то же самое значение,
也映射到同一个值，
вот, то есть вот это не инъекция, это тоже
看，也就是说这不是单射，这同样
не инъекция, ну а.
不是单射，嗯，就这样。
если вот так провести, то была бы
如果这样画，就会是
инъекция. Дальше бывают сюръекции.
单射。接下来还有满射。
суръекция она
满射是指
гласит что для любого b то есть отсюда
即从这里
существует какое то a отсюда такое что f a
存在某个a，使得f(a)成立
b
b
来源：Alexey Savvateev · CC BY 3.0